欢迎来到我的博客

随机微分方程 (SDE) 一般的微分方程可以表示为： $$\frac{d\textbf{x}}{dt} = f(\textbf{x},t)$$几乎所有更高阶的微分方程都可以转化为这种一阶形式。例如，一个二阶系统（如牛顿第二定律 $F=ma$）可以通过引入辅助变量（令速度 $v = \dot{x}$），将其改写为两个一阶方程组成的向量形式： $$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v \\ \frac{F}{m} \end{bmatrix}$$ 然而，在许多现实世界的系统中，存在随机性或不确定性，这时我们需要引入随机微分方程 (SDE) 来描述这些系统。 随机微分方程在传统微分方程的基础上，加入了一个随机过程项，通常表示为Wiener过程。一个典型的随机微分方程形式为： $$d\textbf{x} = f(\textbf{x},t)dt + g(\textbf{x},t)d\textbf{W}_t$$ 其中$f(\mathbf{x}_t, t)$ 是漂移项。$g(t)$ 是扩散项。$\text{d}\mathbf{W}_t$是标准维纳过程。 例如，在slam系统中， imu传感器的bias可以建模为一个随机游走过程： $$d\textbf{b} = \sigma d\textbf{W}_t$$ 其离散化形式为： $$ \mathbf{b}_{k+1} = \mathbf{b}_k + \mathbf{W}_{b,k}, \quad \mathbf{W}_{b,k} \sim \mathcal{N}(0, \Delta t \sigma_{b}^2 ) \\ $$该式描述了bias的方差在每个时间步长 $\Delta t$ 上的变化， 随时间步长线性增长，$\sigma$ 控制了随机游走的强度， 这意味着，随着时间推移，不确定性的范围以时间平方根的速率扩散。 推导福克-普朗克方程 (FPE) 随机微分方程 (SDE) 描述了系统状态的随机演化，而福克-普朗克方程 (FPE) 则描述了系统状态概率密度函数 (PDF) 随时间的变化。通过从 SDE 推导 FPE，我们可以理解系统状态的统计行为。 维纳过程具有以下核心统计特性， 增量 $dW_t = W_{t+dt} - W_t$ 服从正态分布： ...